知识回顾:
判定定理1:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.
判定定理2:如果一个三角形的两个角和另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
判定定理3:如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.

直角三角形相似的判定:
1.一对锐角相等
2.两条直角边对应成比例
3.斜边与一直角边对应成比例

学习思路:
这三条推论(定理),前面两条在2014人教版初中数学九年级下册第35页例2中,有提到。原文为:“由三角形相似的条件可知,如果两个直角三角形满足一个锐角相等,或两组直角边成比例,那么这两个直角三角形相似”。并在第36页思考里提出并证明了判定两个直角三角形相似的特殊方法:“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边成比例,那么这两个直角三角形相似”,这个定理除了可以通过类似于证明前面三个判定定理的方法证明,还可以通过代数计算的方法,利用勾股定理证明。

前提条件:直角三角形,请注意直角三角形是三角形中特殊的三角形,直角三角形中有一个角为直角,角度为90度,这是已知条件。

推论1:一对锐角相等,直角三角形相似。(由一对直角和一对锐角对应相等,根据判定定理2推得)
推论2:两条直角边对应成比例,直角三角形相似。(请注意,这里强调的是两条直角边,两条直角边的夹角为直角,角度为90度,根据判定定理1推得)
推论3:斜边与一条直角边对应成比例,直角三角形相似。(请注意,在八年级下册第十七章,我们已经学习过了勾股定理,直角三角形的斜边与两条直角边的关系可以用$$c^2=a^2+b^2$$表示(其中$$c$$为斜边,$$a$$,$$b$$为直角边)。如果知道直角三角形的一条斜边与一条直角边的长度,我们可以通过勾股定理计算得到另一条直角边的长度。
假设有一个直角三角形,斜边长为$$5k$$,一条直角边长为$$4k$$(其中$$k$$为系数),那么通过勾股定理,我们很容易得到另一条直角边长度为$$3k$$。即直角三角形的三条边对应成比例,比值为$$k$$,他们的三边比值恒为$$3:4:5$$,推广到一般的情况,$$a:b:c$$亦是如此。即直角三角形的三条边对应成比例,根据判定定理3推得推论3成立。

提示:本题,可以考虑运用三垂直模型、角平分线的三种辅助线、三角形全等来进行证明,亦可以依据平行线的性质、中位线的性质,进行证明。