射影定理(欧几里德定理):
在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项,每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

百度百科:此外,当这个三角形不是直角三角形但是$$∠ABC$$等于$$∠CDB$$时也成立。可以使用相似进行证明,过程略。

学习思路:
射影定理的概念的确不好记,我们不做要求,初中阶段的射影定理一般会用在直角三角形的模型中,而最关键的便是三个公式。

射影也可以称之为正投影,假如我们以$$AC$$为底边,从上往下打一束垂直于$$AC$$的光,那么线段$$AB$$会挡住光,并在$$AC$$上形成影子$$AD$$,$$AD$$就被称之为$$AB$$在$$AC$$上的射影,同理$$BC$$在$$AC$$上的射影为$$CD$$。

如何去记忆这三个公式,两条直角边很好记,$$直角边^2=对应的射影×斜边$$,举个简单的例子:$$BC^2=DC×AC$$,同理也能得到$$AB^2=AD×AC$$,因为斜边上的高比较特殊,没有射影,所以单独记,$$高^2=直角边的射影×另一条直角边的射影$$。

这三个公式是如何得到的呢?我们可以用相似三角形的性质去证明。这里简单证明一下$$BC^2=DC×AC$$,其他两个公式证法类似。

$$∵∠A=∠A,∠ABC=∠BDA=90°$$
$$∴△ABC∽△BDA$$
$$∵∠C=∠C,∠ABC=∠BDC=90°$$
$$∴△ABC∽△BDC$$
$$∴△ABC与△BDC与△BDA相似$$
$$∴BC/DC=AC/BC$$
$$∴BC^2=DC×AC$$


提示:此题可以从找与条件相关的三角形相似入手,即可以用常规解法,也可以运用射影定理,快速解决。

提示:此题有多种解法,可以考虑逆推降次,优先使用射影定理,再去找三角形相似,作辅助线,也可以考虑运用三角形三线合一的性质,此题常规做法技巧性比较高,不做要求。

2020.10.14:如何解决乘积式的问题,可以考虑适当转化为比例式,然后通过“横瞧竖看”找出需要证明的相似三角形,证三角形相似。